สรุปสูตร ตรีโกณ ม.3

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สำหรับหัวข้อ ตรีโกณ ม.3 ถือเป็นอีกเรื่องที่ยากในระดับหนึ่งซึ่งข้อสอบสำหรับสอบเข้าศึกษาระดับมัธยมปลาย และข้อสอบแข่งขันนิยมนำไปเป็นข้อสอบ ในบทความนี้จะพูดเพียงแค่พื้นฐานของตรีโกณมิติเพียงเท่านั้น ซึ่งได้แก่ อัตราส่วนตรีโกณมิติ สมบัติของตรีโกณมิติ และ การประยุกต์ใช้ตรีโกณมิติระดับพื้นฐาน ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าใครเป็นคนคิด แต่ครั้งแรกทีพบ คือ บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบินโลน เพราะฉะนั้นเป็นเรื่องที่มีอยู่มานานและมีการประยุกต์ใช้อย่างต่อเนื่อง และถ้าต้องการที่จะพัฒนาฝีมือให้พร้อมก่อนทุกสนามสอบ อย่าลืมทำโจทย์ให้มาก ๆ เพื่อเพิ่มประสบการณ์นะครับ

ภาพรวมเนื้อหา ตรีโกณมิติ

เนื้อหาและแบบฝึกหัด

ดูเนื้อหานี้บน Youtube

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นเนื้อหาที่สำคัญและมีประโยชน์มากในทางคณิตศาสตร์ และฟิสิกส์ โดยเป็นเรื่องที่ว่าด้วยอัตราส่วนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีอัตราส่วนต่าง ๆ ดังนี้

sin(A) = ข้าม / ฉาก

cos(A) = ชิด / ฉาก

tan(A) = ข้าม / ชิด

cosec(A) = ฉาก / ข้าม

sec(A) = ฉาก / ชิด

cot(A) = ชิด / ข้าม

การหาค่าตรีโกณมิติโดยใช้เทคนิค ” มือ “

การหาค่าตรีโกณมิติ โดยใช้เทคนิคมือนั้นเป็นเทคนิคที่สามารถใช้ได้ง่ายทุกสถานการณ์ โดยต้องอาศัยความเข้าใจไม่ต้องเสียเวลานั่งท่องจำมาก มาดูกันเลยว่าทำอย่างไรบ้าง

ขั้นตอนแรก ให้เราจินตนาการตามรูป ว่านิ้วแต่ละนิ้วของเราเปรียบเสมือนค่ามุมต่าง ๆ ในตรีโกณมิติ ได้แก่ 0 , 30 , 45 , 60 และ 90
ถ้าต้องการหาค่าตรีโกณมิติที่มุมเท่าไหร่ให้หักนิ้วนั้นลง
อัตราส่วนที่ได้จะเป็นดังนั้น
- sin จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
- cos จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
- tan จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ ส่วนด้วยสแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ

ตัวอย่าง ถ้าเราต้องการ หาค่าตรีโกณมิติ ที่มุม 60 องศา

วิธีทำ ให้เราใช้มือขวา หักนิ้วชี้ลง จะพบว่า จะเหลือนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว ( นิ้วก้อย , นาง , กลาง ) และจะเหลือนิ้วด้านซ้าย 1 นิ้ว ( นิ้วโป้ง )

เราสามารถหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติได้ ดังนี้

sin มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว จึงได้ค่า sin 60 = √3/2
cos มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า cos 60 = 1/2
tan มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว และ มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า tan 60 = √3/1 หรือ tan 60 = √3

ค่าตรีโกณมิติที่ควรทราบ

หัวข้อที่แล้ว เราได้เรียนรู้หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติด้วยวิธีมือแล้ว คราวนี้เรามาดูตารางสรุปกันดีกว่าว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐานที่เราควรทราบมีอะไรบ้าง

	⁰^°	³⁰^°	⁴⁵^°	⁶⁰^°	⁹⁰^°
^Sin	⁰	1/2	√2/2	√3/2	¹
^Cos	¹	√3/2	√2/2	1/2	⁰
^Tan	⁰	1/√3	¹	√3	^{หาค่าไม่ได้}

สมบัติต่าง ๆ ที่ควรทราบเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

โดยจะนำมาเฉพาะที่ใช้ใน ตรีโกณ ม.3 เท่านั้น ถ้าน้อง ๆ คนไหนเรียนเกินหลักสูตรหรือต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมสามารถไปดูบทความ ตรีโกณมิติ ตัวเต็มได้

sin²θ + cos²θ = 1
tan²θ + 1 = sec²θ
cot²θ + 1 = cosec²θ
sin(A) = 1/cosec(A) และ cosec(A) = 1/sin(A)
cos(A) = 1/sec(A) และ sec(A) = 1/cos(A)
tan(A) = 1/cot(A) = sin(A)/cos(A) และ cot(A)=1/tan(A) = cos(A)/sin(A)

กฎของ sin และ กฎของ cos

กฎของ sin และ กฎของ cos เป็นหัวข้อการประยุกต์ที่ถูกใช้เป็นประจำ ในการหาความยาวด้านและมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ โดยใช้ความรู้ของตรีโกณมิติ แต่อย่าจำสับสน ตรีโกณมิติ อยู่บนพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ในหัวข้อนี้นำเข้ามาประยุกต์กับสามเหลี่ยมใด ๆ เท่านั้น