สรุปสูตร เมทริกซ์ (Matrix)

สรุปสูตร เมทริกซ์ (Matrix)

สำหรับเนื้อหาในเรื่อง เมทริกซ์ (Matrix) เป็นเนื้อหาในวิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ระดับมัธยมปลายชั้นปีที่ 4 โดยเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ไม่ยาก ในการสอบ Gat Pat หรือ O-net นั้น ถือเป็นหัวข้อที่มีการออกข้อสอบพอสมควร 

สูตรที่ได้รวบรวมไว้นั้น เป็นเพียงสูตรเพื่อใช้ในการแก้ปัญหาในโจทย์ แต่การท่องจำเพียงสูตรอย่างเดียวอาจจะไม่เพียงพอ น้อง ๆ จำเป็นต้องทำความเข้าใจและฝึกฝนในการทำโจทย์ สร้างประสบการณ์ในการทำโจทย์ด้วย จะทำให้มีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้น

เนื้อหาทั้งหมดของ เมทริกซ์

พื้นฐานเกี่ยวกับเมทริกซ์

คอร์ส เรียนเรื่องเมทริกซ์

แนวและหลักของเมทริกซ์

 

เมททริกซ์จะมีสมาชิกแนวนอน เรียกว่า แถว(Row) สมาชิกแนวตั้ง เรียกว่า หลัก(Column) 

เราเรียกเมทริกซ์ที่ m แถว n หลักว่า m x n เมทริกซ์ หรือเรียกว่าเมทริกซ์มิติที่ m x n

สัญลักษณ์ aij แทน สมาชิกของเมทริกซ์ A ที่อยู่แถวที่ i และหลักที่ j

การเท่ากันของเมทริกซ์ 

เมทริกซ์ทั้งสองจะเท่ากันได้นั้น ต้องมีมิติที่เท่ากัน และสมาชิกภายในเมทริกซ์ต้องมีค่าที่เหมือนกันในแถวและหลักเดียวกัน

แบบฝึกหัด พร้อมวิธีทำและเฉลย การเท่ากับของเมทริกซ์

การหา เมทริกซ์เท่ากัน หาอย่างไร ในนี้มีคำตอบ

การบวกและการลบเมทริกซ์

การบวกและการลบเมทริกซ์เป็นกระบวนการทำกันระหว่างเมทริกซ์ ซึ่งเมทริกซ์จะบวกหรือลบกันโดยการนำสมาชิกที่แถวเดียวกัน หลักเดียวกันมาทำการบวกหรือลบกันเท่านั้น หรือพูดง่าย ๆ ว่า นำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันในแต่ละเมทริกซ์มาทำการบวกหรือลบเท่านั้น

แบบฝึกหัด พร้อมวิธีทำและเฉลย การบวกลบเมทริกซ์

เมทริกซ์ ม.5 – 2.1 บวก ลบ เมทริกซ์ และ คูณเมทริกซ์ ด้วยค่าคงที่

การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ แบ่งออกเป็น 2 แบบใหญ่ ๆ แบบแรก คือ การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง แบบที่สอง คือ การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ด้วยกัน ซึ่งมีความแตกต่างกัน ในเรื่องแรกเราจะพูดถึงการคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง หลักการง่าย ๆ คือ การคูณค่าคงที่กับสมาชิกทุกตัว

แบบฝึกหัด พร้อมวิธีทำและเฉลย การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่

เมทริกซ์ ม.5 – 2.1 บวก ลบ เมทริกซ์ และ คูณเมทริกซ์ ด้วยค่าคงที่

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

จะมีความพิเศษกว่าการคูณด้วยจำนวนจริง คือ ใช้หลักการแถวคูณหลัก สามารถดูตัวอย่างได้จากรูปข้างล่างได้เลยครับ

แบบฝึกหัด พร้อมวิธีทำและเฉลย เมทริกซ์ คูณ เมมทริกซ์

เมทริกซ์ ม.5 – 2.1 จงหาผลคูณของ เมทริกซ์ คูณ เมทริกซ์ ต่อไปนี้

ทรานสโพส ( Transpose )

คือ การเปลี่ยนเมทริกซ์ โดยการสลับแถว (Row) กับ หลัก (Column) 

แบบฝึกหัด พร้อมวิธีทำและเฉลย การทำ ทรานสโพส

เมทริกซ์ ม.5 – 2.1 วิธีหา ทรานสโพส หรือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนต์ ( Determinant )

ในการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ ( Determinant ) ของเมทริกซ์ สามารถทำได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับมิติของเมทริกซ์นั้น

  • ถ้าเมทริกซ์เป็นชนิด 1 x 1 ดีเทอร์มิแนนต์ หรือ det จะเท่ากับ a
  • ถ้าเมทริกซ์เป็นชนิด 2 x 2 หาดีเทอร์มิแนนต์ หรือ det ให้ใช้หลักการคูณลงลบคูณขึ้น หรือว่า ad-bc
  • ถ้าเมทริกซ์เป็นชนิด 3 x 3 หาดีเทอร์มิแนนต์ หรือ det ให้ใช้หลักการคูณลงลบคูณขึ้น หรือว่า (aei + bfg + cdh ) – ( ceg + bdi + ahf )

แบบฝึกหัด พร้อมวิธีทำและเฉลย การหา ดีเทอร์มิแนนต์ ( det )

เมทริกซ์ ม.5 – 2.2 จงหา ดีเทอร์มิแนนต์ ( det 2×2 และ 3×3 ) ของเมทริกซ์ต่อไปนี้

การหาไมเนอร์ (Minor) และ การหาโคแฟกเตอร์ (Cofactor)

ไมเนอร์ (Minor)  คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และ หลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก
สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ Mij(A)

การคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์

การคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A สามารถทำได้ดังนี้

  1. เลือกสมาชิกในแถวหรือหลัก ของเมทริกซ์ A แล้วหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิกในแถวหรือหลักนั้น

 (เพื่อความง่ายนิยมเลือกแถวหรือหลักที่มีเลขศูนย์มาก)

  1. เอาสมาชิกแต่ละตัวในแถวหรือหลักนั้น คูณ กับ โคแฟเตอร์ของสมาชิกแล้วนำผลที่คูณได้มาบวกกัน

ผลบวกที่ได้คือค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A

สมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ที่ควรทราบ

การหาอินเวอร์สการคูณของ n×n เมทริกซ์

แบบฝึกหัด พร้อมวิธีทำและเฉลย การหา เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ ม.5 – 2.3 จงหา เมทริกซ์ผกผัน ของเมทริกซ์ต่อไปนี้

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

ในระบบสมการเชิงเส้นนั้นเราสามารถทำการแก้สมการเพื่อหาตัวแปรได้หลายวิธี เมทริกซ์ก็เป็นหนึ่งในวิธีที่สามารถทำการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้

โดยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์นั้นสามารถทำได้ดังนี้

  • ทำการแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์ก่อน โดยจะได้เมทริกซ์อยู่ในรูปของ AX = B เมื่อ
    A = เมทริกซ์ของเลขสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร
    X = เมทริกซ์ของตัวแปร
    B = เมทริกซ์ของค่าคงที่
  • ย้ายเมทริกซ์ไปอินเวอร์ส (เหมือนการแก้สมการปกติ)
    ได้เป็น  X = A^(-1)*B

เมื่อน้อง ๆ สามารถจำสูตรได้แล้ว ต้องฝึกฝนในการนำไปใช้ด้วยนะครับ ถ้าอยากได้สูตรเรื่องอื่น ๆ อีกที่ยังไม่มี สามารถบอกกับพี่ ๆ ได้เลยนะครับ พี่ ๆ จะทำการเลือกแล้วนำมาจัดทำเป็นสรุปต่อไป ขอบคุณครับ