สรุปสูตร ตรีโกณ ม.5

สรุปสูตร ตรีโกณ ม.5

ตรีโกณมิติ

เนื้อหาสรุปสูตร ตรีโกณ ม.5 นี้เพื่อความสะดวกในการใช้งานและท่องจำ ประกอบไปด้วยเนื้อหา อัตราส่วนตรีโกณมิติ สูตรต่าง ๆ ของตรีโกณมิติ และ การประยุกต์ตรีโกณมิติ น้อง ๆ สามารถบันทึกไว้ในโทรศัพท์ หรือจะเปิดอ่านบนเว็บไซต์ได้ทุกเมื่อ แต่นี่คือสรุปสูตรเท่านั้น ถ้าไม่ได้มีการฝึกฝนในการทำโจทย์ตรีโกณมิติ หรืออ่านทบทวนเป็นประจำ ก็ยากที่จะเข้าใจในบทเรียนนี้ 

เนื้อหาทั้งหมดของ ตรีโกณมิติ

Part 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ดูเนื้อหานี้บน Youtube

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในการประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน ตรีโกณ ม.5 ซึ่งเป็นเนื้อหาที่สำคัญและมีประโยชน์มากในทางคณิตศาสตร์ และฟิสิกส์ เป็นอัตราส่วนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีอัตราส่วนต่าง ๆ ดังนี้

sin(A) = ข้าม / ฉาก

cos(A) = ชิด / ฉาก

tan(A) = ข้าม / ชิด

cosec(A) = ฉาก / ข้าม

sec(A) = ฉาก / ชิด

cot(A) = ชิด / ข้าม

การหาค่าตรีโกณมิติโดยใช้เทคนิค “มือ”

การหาค่า ตรีโกณมิติ โดยใช้เทคนิคมือนั้น เป็นเทคนิคที่สามารถใช้ได้ง่ายทุกสถานการณ์ โดยต้องอาศัยความเข้าใจ ไม่ต้องเสียเวลานั้งท่องจำมาก มาดูกันเลยว่าทำอย่างไรบ้าง

  • ขั้นตอนแรก ให้เราจินตนาการตามรูป ว่านิ้วแต่ละนิ้วของเราเปรียบเสมือนค่ามุมต่าง ๆ ในตรีโกณมิติ ได้แก่ 0 , 30 ,45 ,60 และ 90 
  • ถ้าต้องการหาค่าตรีโกณมิติที่มุมเท่าไหร่ ให้หักนิ้วนั้นลง
  • อัตราส่วนที่ได้จะเป็นดังนั้น
    • sin จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
    • cos จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
    • tan จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ ส่วนด้วยสแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ

ตัวอย่าง ถ้าเราต้องการ หาค่าตรีโกณมิติ ที่มุม 60 องศา

วิธีทำ ถ้าเราใช้มือขวา ให้เราหักนิ้วชี้ลง จะพบว่า เหลือนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว ( ก้อย , นาง , กลาง ) และจะเหลือนิ้วด้านซ้าย 1 นิ้ว ( โป้ง )

เราสามารถหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติได้ ดังนี้

  • sin มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว จึงได้ค่า sin 60 = √3/2
  • cos มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า cos 60 = 1/2
  • tan  มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว  และ มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า tan 60 = √3

ค่าตรีโกณมิติที่ควรทราบ

หัวข้อที่แล้ว เราได้เรียนรู้หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติด้วยวิธีมือแล้ว คราวนี้เรามาดูตารางสรุปกันได้กว่าว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐานที่เราควรทราบมีอะไรบ้าง

 

0°

30°

45°

60°

90°

Sin

0

1/2√2/2√3/2

1

Cos

1

√3/2√2/21/2

0

Tan

0

1/√3

1

√3

หาค่าไม่ได้

สมบัติต่าง ๆ ที่ควรทราบเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

  • sin2θ + cos2θ = 1
  • tan2θ + 1 = sec2θ
  • cot2θ + 1 = cosec2θ
  • sin(A) = 1/cosec(A)  และ cosec(A) = 1/sin(A)
  • cos(A) = 1/sec(A) และ sec(A) = 1/cos(A)
  • tan(A) = 1/cot(A) = sin(A)/cos(A) และ cot(A) = 1/tan(A) = cos(A)/sin(A)

วงกลมหนึ่งหน่วย

พื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ ความรู้เรื่องวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย หรือเรียกสั้นๆว่า “วงกลมหนึ่งหน่วย”

โดยวงกลมหนึ่งหน่วย จะแบ่งเป็นด้วยกัน 4 ควอดรันต์ ตามเครื่องหมายของตัวแปรในแกน x และตัวแปรในแกน y

ควอดรันต์ที่ 1 (Q1)  แกน x เป็น + และแกน y เป็น + เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (+,+)

ควอดรันต์ที่ 2 (Q2)  แกน x เป็น – และแกน y เป็น + เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (-,+)

ควอดรันต์ที่ 3 (Q3)  แกน x เป็น – และแกน y เป็น – เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (-,-)

ควอดรันต์ที่ 4 (Q4)  แกน x เป็น + และแกน y เป็น – เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (+,+)

การนับมุมภายในของวงกลมหนึ่งหน่วยจะเริ่มต้นที่ จุด (1,0) หมุนทวนเข็มนาฬิกา

โดยที่อัตราส่วนตรีโกณมิติของวงกลมหนึ่งหน่วยสามารถจำได้ง่าย ๆ เลยคือ

cos (θ) = x และ sin (θ) = y

อ่านว่า “cosเอกซ์sinวาย”

กล่าวคือ ถ้าต้องการหาค่าที่จุดใด ๆ บนวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วเรารู้มุมนั้นก็สามารถหาค่า x และ y โดยใช้มุมของวงกลมแทนใน cos และ sin  เพื่อหาค่า x และ y ตามลำดับ

ยกตัวอย่างเช่น

ถ้าเราต้องการหาค่า x และ y ที่มุมภายใน 30 องศา จะได้

(x , y) = (cos(30) , sin(30)) 

Part 2 สูตรการหาค่ามุมต่าง ๆ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่าง

ใช้ในกรณีที่ต้องการแปลงค่ามุมให้เป็นมุมที่เราต้องการได้เพื่อประยุกต์ใช้ในกรณีต่าง ๆ

  • cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
  • cos(A+B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B)
  • sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
  • sin(A-B) = sin(A)cos(B) – cos(A)sin(B)
  • tan(A+B) = (tan(A)+tan(B)) / (1-tan(A)tan(B))
  • tan(A-B) = (tan(A)-tan(B)) / (1+tan(A)tan(B))

มุมทวีคูณ

ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 2 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้

  • sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
  • cos(2A) = cos2(A) – sin2(A) = 1 – 2sin2(A) = 2cos2(A) – 1
  • tan(2A) = (2 tanA) / (1 – tan2(A))

มุมพหุคูณ

ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 3 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้

  • sin(3A) = (3)sin(A) –  (4)Sin3(A)
  • cos(3A) = (4)cos3(A) –  3cos(A)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติครึ่งของจำนวนจริงหรือมุม

ผลคูณ ผลบวก ผลต่าง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลคูณของตรีโกณมิติให้เป็นผลบวก หรือ ผลต่าง ในทางกลับกันก็สามารถแปลงผลบวก หรือ ผลต่าง มาเป็นรูปแบบผลคูณได้เช่นกัน

  • 2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A-B)
  • 2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B)
  • 2cosAcosB = cos(A+B) + sin(A-B)
  • 2sinAsinB = cos(AB)-cos(A+B)

หมายเหตุ : ระวัง! 2sinAsinB จะมีลักษณะที่แตกต่างจากอันอื่น

การแปลงผลบวกหรือผลต่างเป็นผลคูณ

เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลบวก และ ผลต่าง เป็นผลคูณ เพื่อการประยุกต์ใช้ต่าง ๆ

  • sinA + sinB = 2 sin((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
  • sinA – sinB = 2 cos((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
  • cosA + cosB = 2 cos((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
  • cosB-cosA = 2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
  • หรือ cosA – cosB = -2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)

หมายเหตุ : ระวัง! cosA-cosB จะมีลักษณะที่แตกต่างจากอันอื่น

Part 3 การประยุกต์

กฎของ sin และ กฎของ cos

ในหัวข้อนี้จะพูดถึงการนำตรีโกณมิติเข้าไปประยุกต์ ซึ่งจะต้องมีความรู้พื้นฐาน part ที่ 1 และ 2 อย่างดี รวมถึงการใช้สูตรใน part ที่ 3 เพื่อมาประยุกต์รวมกัน

กฎของ sin และ กฎของ cos เป็นหัวข้อการประยุกต์ที่ถูกใช้เป็นประจำ ในการหาความยาวด้านและมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ โดยใช้ความรู้ของตรีโกณมิติ แต่อย่าจำสับสน ตรีโกณมิติอยู่บนพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ในหัวข้อนี้นำเข้ามาประยุกต์กับสามเหลี่ยมใด ๆ เท่านั้น

กฎของ sin

a/sinA = b/sinB = c / sinC

โดยกำหนดให้ 

a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ

A , B , C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม

กฎของ cos

a2 = b2 + c2 – 2bc(cosA)

b2 = a2 + c2 – 2ac(cosB)

c2 = a2 + b2 – 2ab(cosC)

โดยกำหนดให้ 

a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ

A , B ,C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม

ในการสอบระดับมหาวิทยาลัย และในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ พื้นฐาน หรือ เพิ่มเติมก็ตาม น้อง ๆ ต้องทำความเข้าใจในสูตรต่าง ๆ นี้ให้เข้าใจ เพื่อที่จะได้ใช้อย่างถูกต้องต่อไปนะครับ

เอกสารประกอบการเรียน