สรุปสูตร เมทริกซ์ (Matrix)
สำหรับเนื้อหาในเรื่อง เมทริกซ์ (Matrix) เป็นเนื้อหาในวิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ระดับมัธยมปลายชั้นปีที่ 4 โดยเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ไม่ยาก ในการสอบ Gat Pat หรือ O-net นั้น ถือเป็นหัวข้อที่มีการออกข้อสอบพอสมควร
สูตรที่ได้รวบรวมไว้นั้น เป็นเพียงสูตรเพื่อใช้ในการแก้ปัญหาในโจทย์ แต่การท่องจำเพียงสูตรอย่างเดียวอาจจะไม่เพียงพอ น้อง ๆ จำเป็นต้องทำความเข้าใจและฝึกฝนในการทำโจทย์ สร้างประสบการณ์ในการทำโจทย์ด้วย จะทำให้มีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้น
แถวและหลักของเมทริกซ์
เมททริกซ์จะมีสมาชิกแนวนอน เรียกว่า แถว(Row) สมาชิกแนวตั้ง เรียกว่า หลัก(Column)
เราเรียกเมทริกซ์ที่ m แถว n หลักว่า m x n เมทริกซ์ หรือเรียกว่าเมทริกซ์มิติที่ m x n
สัญลักษณ์ aij แทน สมาชิกของเมทริกซ์ A ที่อยู่แถวที่ i และหลักที่ j
การเท่ากันของเมทริกซ์
เมทริกซ์ทั้งสองจะเท่ากันได้นั้น ต้องมีมิติที่เท่ากัน และสมาชิกภายในเมทริกซ์ต้องมีค่าที่เหมือนกันในแถวและหลักเดียวกัน
การบวกและการลบเมทริกซ์
การบวกและการลบเมทริกซ์เป็นกระบวนการทำกันระหว่างเมทริกซ์ ซึ่งเมทริกซ์จะบวกหรือลบกันโดยการนำสมาชิกที่แถวเดียวกัน หลักเดียวกันมาทำการบวกหรือลบกันเท่านั้น หรือพูดง่าย ๆ ว่า นำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันในแต่ละเมทริกซ์มาทำการบวกหรือลบเท่านั้น
การคูณเมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์ แบ่งออกเป็น 2 แบบใหญ่ ๆ แบบแรก คือ การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง แบบที่สอง คือ การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ด้วยกัน ซึ่งมีความแตกต่างกัน ในเรื่องแรกเราจะพูดถึงการคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง หลักการง่าย ๆ คือ การคูณค่าคงที่กับสมาชิกทุกตัว
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
จะมีความพิเศษกว่าการคูณด้วยจำนวนจริง คือ ใช้หลักการแถวคูณหลัก สามารถดูตัวอย่างได้จากรูปข้างล่างได้เลยครับ
ทรานสโพส ( Transpose )
คือ การเปลี่ยนเมทริกซ์ โดยการสลับแถว (Row) กับ หลัก (Column)
ดีเทอร์มิแนนต์ ( Determinant )
ในการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ ( Determinant ) ของเมทริกซ์ สามารถทำได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับมิติของเมทริกซ์นั้น
- ถ้าเมทริกซ์เป็นชนิด 1 x 1 ดีเทอร์มิแนนต์ หรือ det จะเท่ากับ a
- ถ้าเมทริกซ์เป็นชนิด 2 x 2 หาดีเทอร์มิแนนต์ หรือ det ให้ใช้หลักการคูณลงลบคูณขึ้น หรือว่า ad-bc
- ถ้าเมทริกซ์เป็นชนิด 3 x 3 หาดีเทอร์มิแนนต์ หรือ det ให้ใช้หลักการคูณลงลบคูณขึ้น หรือว่า (aei + bfg + cdh ) – ( ceg + bdi + ahf )
การหาไมเนอร์ (Minor) และ การหาโคแฟกเตอร์ (Cofactor)
ไมเนอร์ (Minor) คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และ หลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก
สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ Mij(A)
การคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์
การคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A สามารถทำได้ดังนี้
- เลือกสมาชิกในแถวหรือหลัก ของเมทริกซ์ A แล้วหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิกในแถวหรือหลักนั้น
(เพื่อความง่ายนิยมเลือกแถวหรือหลักที่มีเลขศูนย์มาก)
- เอาสมาชิกแต่ละตัวในแถวหรือหลักนั้น คูณ กับ โคแฟเตอร์ของสมาชิกแล้วนำผลที่คูณได้มาบวกกัน
ผลบวกที่ได้คือค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A
สมบัติและทฤษฎีบทเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ที่ควรทราบ
การหาอินเวอร์สการคูณของ n×n เมทริกซ์
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์
ในระบบสมการเชิงเส้นนั้นเราสามารถทำการแก้สมการเพื่อหาตัวแปรได้หลายวิธี เมทริกซ์ก็เป็นหนึ่งในวิธีที่สามารถทำการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้
โดยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์นั้นสามารถทำได้ดังนี้
- ทำการแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์ก่อน โดยจะได้เมทริกซ์อยู่ในรูปของ AX = B เมื่อ
A = เมทริกซ์ของเลขสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร
X = เมทริกซ์ของตัวแปร
B = เมทริกซ์ของค่าคงที่ - ย้ายเมทริกซ์ไปอินเวอร์ส (เหมือนการแก้สมการปกติ)
ได้เป็น X = A^(-1)*B
เมื่อน้อง ๆ สามารถจำสูตรได้แล้ว ต้องฝึกฝนในการนำไปใช้ด้วยนะครับ ถ้าอยากได้สูตรเรื่องอื่น ๆ อีกที่ยังไม่มี สามารถบอกกับพี่ ๆ ได้เลยนะครับ พี่ ๆ จะทำการเลือกแล้วนำมาจัดทำเป็นสรุปต่อไป ขอบคุณครับ