จำนวนจริง ม.2 ( Real Number )
จำนวนจริง
หัวข้อเรื่อง จำนวนจริงระดับ ม.2 เป็นหนึ่งในเรื่องของระบบจำนวน โดยในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเพียงจำนวนจริงเท่านั้น ไม่พิจารณาจำนวนจินตภาพ โดยหัวข้อนี้ถือเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำไปต่อยอดในหัวข้อต่าง ๆ ได้ เพราะเรื่องจำนวนจริง มีการประยุกต์ใช้และเป็นข้อสอบในหลาย ๆ สนามสอบ ทำให้การทำความเข้าใจเรื่อง จำนวนจริงระดับ ม.2 นี้เป็นสิ่งที่มีความสำคัญมาก
เนื้อหาทั้งหมดของ จำนวนจริง
โครงสร้างของระบบจำนวน
จำนวนเชิงซ้อน ( Complex Number )
- จำนวนจินตภาพ
- จำนวนจริง
- จำนวนอตรรกยะ
- จำนวนตรรกยะ
- จำนวนเต็ม
- จำนวนเต็มลบ
- จำนวนเต็มศูนย์
- จำนวนเต็มบวก
- ไม่เป็นจำนวนเต็ม
- จำนวนเต็ม
ส่วนประกอบของจำนวนจริง
จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย
- จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
- จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
จำนวนตรรกยะ ( Rational Number )
จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ
- จำนวนเต็ม
- ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที
จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้
- เศษส่วน
- ทศนิยมซ้ำ
ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้
จำนวนเต็ม ( Integer )
จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น
- จำนวนเต็มบวก
- จำนวนเต็มลบ
- จำนวนเต็มศูนย์
ข้อควรรู้ :
- ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
- ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด
- 0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ
- จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1
- จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1
ประเภทของจำนวน
- จำนวนคู่ ( Even Number ) : คือ จำนวนที่ 2 สามารถหารได้ลงตัว
- จำนวนคี่ ( Odd Number ) : คือจำนวนที่ 2 ไม่สามารถหารได้ลงตัว
- จำนวนเฉพาะ ( Prime Number ) : คือ จำนวนนับที่มีตัวหารที่เป็นจำนวนบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวมันเองเท่านั้น
- จำนวนประกอบ ( Composite Number ) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
สมบัติของจำนวนจริง
กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ
1. สมบัติการบวกในจำนวนจริง
- สมบัติปิดการบวก
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง
- สมบัติการสลับที่การบวก
a + b = b + a
- สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- การมีเอกลักษณ์การบวก
0 + a = a + 0 = a
- การมีอินเวอร์สการบวก
a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0
2. สมบัติการคูณในจำนวนจริง
- สมบัติปิดการคูณ
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว ab จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง
- สมบัติการสลับที่การคูณ
ab = ba
- สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ
a × ( bc ) = ( ab ) × c
- การมีเอกลักษณ์การคูณ
1 × a = a × 1 = a
- การมีอินเวอร์สการคูณ
a × ( 1/a ) = ( 1/a ) × a = 1
สมบัติการแจกแจง
a ( b+c ) = ab + ac