การเคลื่อนที่แบบหมุน

ในธรรมชาติเกิดขึ้นได้กับอนุภาคหรือวัตถุที่มีขนาดเล็กไปจนถึงวัตถุที่มีขนาดใหญ่มาก ตั้งแต่การหมุนในระดับอะตอมไปจนถึงการหมุนของกาแลกซีในเอกภพ ในกรณีการหมุนของวัตถุที่มีขนาดใหญ่ เช่น การหมุนของล้อรถ การหมุนของดาวเคราะห์ เราไม่สามารถที่จะมองการหมุนแบบนั้นเหมือนการหมุนของอนุภาคเดี่ยว ๆ ได้ เพราะอนุภาคเหล่านั้นอยู่คนละตำแหน่ง มีระยะห่างจากแกนหมุนไม่เท่ากัน จึงมีความเร็วเชิงเส้นและความเร่งเชิงเส้นที่ไม่เท่ากันด้วย การเคลื่อนที่แบบหมุน จะเป็นการเคลื่อนที่โดยการหมุนรอบตัวเอง รอบจุดใดจุดหนึ่ง หรือ แกนใดแกนหนึ่งในตัวมัน เช่น ลูกฟุตบอล ลูกข่าง พัดลม ล้อรถ เป็นต้นการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนตรึงแกนหนึ่ง แต่ละอนุภาคที่ประกอบกันเป็นวัตถุแข็งเกร็งจะมีความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมเท่ากันเสมอ

วัตถุจะเกิดการหมุนเมื่อมีโมเมนต์ (Moment) หรือ ทอร์ก (Torque) มากระทำ

1) ถ้าวัตถุสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระ จะเกิดการหมุนเมื่อแนวแรงไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลและวัตถุนั้นจะมีการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล

2) ถ้าวัตถุนั้นถูกยึดด้วยแกนหมุน เช่น พัดลม ดุมล้อจักรยาน จะเกิดการหมุนเมื่อแนวแรงไม่ผ่านแกนหมุนและวัตถุนั้นจะหมุนรอบแกนหมุนนั้น (ไม่จำเป็นต้องหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล เหมือนกรณีที่หนึ่ง)

สรุปสูตรการเคลื่อนที่แบบหมุน

ปริมาณ	เชิงเส้น		เชิงมุม
การกระจัด	s		θ
ความเร็ว	v		ω
ความเร่ง	a		α
การแปลงเชิงเส้นเป็นเชิงมุม	s = θr
การแปลงเชิงเส้นเป็นเชิงมุม	v = ωr
การแปลงเชิงเส้นเป็นเชิงมุม	a = αr
สูตรการเคลื่อนที่ที่มีความเร็วคงที่	v= s/t	ω = θ/t
สูตรการเคลื่อนที่ที่มีความเร็วคงที่	a = v/t	α = ω/t
สูตรการเคลื่อนที่ที่มีความเร่ง	v = u + at	ω = ω₀+ αt
สูตรการเคลื่อนที่ที่มีความเร่ง	s = ut + (1/2)at²	θ = ω₀+(1/2)αt²
สูตรการเคลื่อนที่ที่มีความเร่ง	v²= u²+ 2as	ω² = ω₀² +2αθ
สูตรการเคลื่อนที่ที่มีความเร่ง	s = (u+v)t/2	θ = (ω+ω₀)t/2
มวล	m	I
แรง	∑F = ma	Στ = Iα
โมเมนตัม	P = mv	L = Iω
งาน	W =Fs	W = τθ
กำลัง	P = w/t = Fv	P = W/t = τω
พลังงานจลน์	E_k = (1/2)mv²	E_k = (1/2)Iω²

โดยที่

S คือ การกระจัดเชิงเส้น มีหน่วยเป็น เมตร (m)

θ คือ การกระจัดเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียน (rad)

V คือ ความเร็วปลายเชิงเส้น มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาที ( m/s )

U คือ ความเร็วต้นเชิงเส้น มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาที ( m/s )

ω คือ ความเร็วต้นเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที (rad/s)

ω₀ คือ ความเร็วปลายเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที (rad/s)

A คือ ความเร่ง มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาที²(m/s²)

α คือ ความเร่งเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที² (rad/s²)

t คือ เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s)

τ คือ แรงที่ทำให้เกิดการหมุน มีหน่วยเป็น นิวตันเมตร (N⋅m)

F คือ แรงที่กระทำต่อวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน (N)

r คือ ระยะตั้งฉากจากแนวแรงไปยังแกนหมุน มีหน่วยเป็น เมตร (m)

I คือ โมเมนต์ความเฉื่อย มีหน่วยเป็น กิโลกรัมเมตร²

α คือ ความเร่งเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที²

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ การเคลื่อนที่แบบหมุน

1) ทุก ๆ อณูของวัตถุต้องเคลื่อนที่ในแนววงกลม

2) ศูนย์กลางของทุก ๆ วงกลม ต้องอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเส้นตรงนี้เรียกว่า แกนของการหมุน

ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการหมุน

การกระจัดเชิงมุม (Angular displacement)

คือ มุมที่กวาดไปในระนาบของการเคลื่อนที่ เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศทางตามกฎมือขวา

S = θ /R หน่วย เรเดียน ( rad )

การหาทิศของการกระจัดเชิงมุม

โดยใช้มือขวากำรอบแกนหมุน นิ้วทั้งสี่แทนทิศการหมุน นิ้วหัวแม่มือทาบไปตามแกนหมุน ทิศของการกระจัดเชิงมุมจะมีทิศเดียวกับการชี้ของหัวแม่มือ

ความเร็วเชิงมุม (w)(Angular speed)

คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีทิศเดียวกับการกระจัดเชิงมุม

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย

ความเร็วเชิงมุมขณะหนึ่ง

โดยทุกจุดของวัตถุแข็งเกร็งจะหมุนด้วยความเร็งเชิงมุมที่เท่ากัน

ความเร่งเชิงมุม (α) (Angular acceleration)

คือ ความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีทิศเดียวกับความเร่งเชิงมุมเฉลี่ย

ความเร่งเชิงมุมขณะหนึ่ง

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเชิงเส้นและเชิงมุม

ตำแหน่ง

ความเร็วเชิงเส้น

จากสมการ จะเห็นว่ากรณีวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนหมุน อนุภาคทุกอนุภาคในวัตถุจะมีความเร็วเชิงมุมเท่ากันแต่มีความเร็วเชิงเส้นไม่เท่ากันโดยขึ้นอยู่กับระยะห่างจากแกนหมุน ยิ่งห่างมากก็ยิ่งเร็วมาก

ความเร่งในแนวสัมผัส (Tangential)

ความเร่งในแนวรัศมี (Radial) หรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ดังนั้น ความเร่งลัพธ์

เปรียบเทียบกับสมการการเคลื่อนที่แนวเส้นตรงกับแบบหมุนกรณีหมุนด้วยความเร่งเชิงมุม(α ) คงที่

โมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of inertia)

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ เป็นสมบัติของวัตถุแข็งเกร็งในการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมของการหมุนของวัตถุรอบแกนหมุน เป็นปริมาณสเกลาร์ หน่วย kg ⋅m²

กรณีอนุภาคเป็นมวลย่อย ๆ

2. กรณีอนุภาคประกอบกันเป็นวัตถุแข็งเกร็ง

การหาโมเมนต์ความเฉื่อยโดยใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน (Parallel–Axis Theorem)

ในกรณีที่วัตถุหมุนรอบแกนที่ไม่ใช่แกนสมมาตร เราจะสามารถหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนไม่สมมาตร โดยใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน เป็นทฤษฎีที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อย I_Pของวัตถุรอบแกนที่ผ่านจุด P กับโมเมนต์ความเฉื่อย I_CMของวัตถุรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลและขนานกับแกนที่ผ่านจุด P ของวัตถุนั้น

เมื่อ h คือ ระยะห่างระหว่างจุดหมุนใหม่กับจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุในแนวแกนหมุนนั้น

ง่าย ๆ คือ ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่มีจุดหมุนอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางมวลเป็นระยะ h

โมเมนต์ความเฉื่อย จะมีค่าเท่ากับ ผลบวกของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่หมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวล I_CMบวก กับ Mh²

ทอร์ก (Torque) และความสัมพันธ์ระหว่างทอร์กกับความเร่งเชิงมุม

ทอร์ก (τ) หรือ โมเมนต์ของแรง (Moment of a force) คือ ความพยายามของแรงที่จะหมุนวัตถุรอบแกนหรือจุดหมุนหรือก็คือ โมเมนต์ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบหมุน มีหน่วย N⋅m เกิดจากผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตำแหน่ง r กับแรง F

ขนาดของทอร์ก = แรง X ระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุนถึงแนวแรง (แขนโมเมนต์ หรือ Moment arm)

งาน กำลัง และพลังงานในการเคลื่อนที่แบบหมุน

การเคลื่อนที่แบบการกลิ้ง (Rolling Motion, without slipping)หรือ การหมุนรอบแกนที่เคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบกลิ้ง คือ การเคลื่อนที่โดยวัตถุจะมีการหมุน (Rotation) และมีการเลื่อนที่ (translation)ไปพร้อม ๆ กัน แต่ไม่ใช่การไถล ตัวอย่างเช่น ล้อรถจักรยาน ล้อรถยนต์ เป็นต้น ซึ่งมีทั้งการเลื่อนที่และหมุนไปพร้อมกัน

พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบกลิ้ง

การเคลื่อนที่แบบกลิ้ง หรือ การเคลื่อนที่ที่ประกอบไปด้วยการเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่ (หรือเส้นตรง) และการเคลื่อนที่แบบหมุนไปพร้อมกัน เช่น ลูกบอล ลูกกอล์ฟ ลูกปืน เป็นต้น ดังนั้นพลังงานจลน์ของระบบการเคลื่อนที่แบบกลิ้งจึงเป็น“พลังงานจลน์ทั้งหมดของการกลิ้งของวัตถุ มีค่าเท่ากับ ผลรวมของพลังงานจลน์ของการหมุนรอบจุด C.M. และพลังงานจลน์ของการเลื่อนที่รอบจุด C.M.”