สูตรการแยกตัวประกอบ
แยกตัวประกอบ
ในหัวข้อ สูตรการแยกตัวประกอบ ที่ได้รวบรวมสูตรไว้นั้น เป็นเพียงสูตรที่ใช้แก้ปัญหาในโจทย์ แต่การท่องจำเพียงสูตรอย่างเดียวอาจจะไม่เพียงพอ น้อง ๆ จำเป็นต้องทำความเข้าใจและฝึกฝนในการทำโจทย์ สร้างประสบการณ์ในการทำโจทย์ด้วย ซึ่งจะทำให้มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น โดยเรื่องการแยกตัวประกอบนี้จะถูกนำไปใช้ในบทการแก้สมการกำลังสองต่อไป
เนื้อหาทั้งหมดของ แยกตัวประกอบพหุนาม
ดูเนื้อหานี้บน Youtube
สรุป สูตรการแยกตัวประกอบ ทั้งหมด
a² – b² = (a + b)(a – b)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab+ b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b+ 3ab² – b³
การฝึกแยกตัวประกอบแบบพื้นฐาน
พื้นฐานการแยกตัวประกอบ เป็นสิ่งที่สำคัญมาก เพราะว่าเป็นพื้นฐานที่ต้องใช้ในอนาคตอย่างแน่นอนเพราะฉะนั้นเราควรแยกตัวประกอบให้ชำนาญและถูกต้องไว้จะดีที่สุดเพื่อจะได้ไม่ต้องจำ สูตรการแยกตัวประกอบ ทั้งหมด
รูปแบบที่ 1
พหุนามอยู่ในรูป x² + bx + c
ในการแยกตัวประกอบรูปแบบนี้ให้ถือหลักการว่า
” บวกกันได้ตัวกลาง คูณกันได้ตัวหลัง “
กล่าวคือ ให้หาตัวเลข 2 ตัวที่สามารถบวกกันแล้วเท่ากับ b และคูณกันได้เท่ากับ c นั่นเอง กำหนดตัวแปร m และ n เป็นค่าคงที่ จะสามารถเขียนในรูปแบบสมการได้ว่า
b = m + n
c = m × n
จากนั้นก็จะสามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น
x² + bx + c = (x+m)(x+n)
ตัวอย่าง
จงแยกตัวประกอบของ x² + 5x + 6
จากตัวอย่างนี้ ถ้าต้องการแยกตัวประกอบ ในพิจารณาตามหลัก
” บวกกันได้ตัวกลาง คูณกันได้ตัวหลัง “
นั่นก็คือ พิจารณาว่าตัวเลขคู่ใด บวกกันได้เท่ากับ 5 และคูณกันได้เท่ากับ 6
เริ่มพิจารณาจากการคูณ ตัวเลขที่คูณกันได้เท่ากับ 6 มีด้วยกัน 2 ชุด คือ
- 2 × 3
- 6 × 1
ต่อจากนั้นก็ลองหาผลบวกกันดู
- 2 + 3 = 5
- 6 + 1 = 7
แสดงว่าตัวเลขที่สามารถใช้ได้ก็คือ 2 และ 3
เพราะฉะนั้นสามารถแยกตัวเป็นกอบได้เป็น
x² + 5x + 6 = ( x + 2 )( x + 3 )
รูปแบบที่ 2
พหุนามอยู่ในรูป ax² + bx + c
ในการแยกตัวประกอบรูปแบบนี้ให้ถือหลักการว่า
” ตัวหน้าคูณกันได้ข้างหน้า ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกลต้องได้ตรงกลาง ตัวหลังคูณกันต้องได้ข้างหลัง “
กล่าวคือ ในรูปแบบนี้จำเป็นจะต้องหาตัวเลข 4 ตัวที่มีความสัมพันธ์กัน จะขอแยกเป็นชุดข้างหน้า และชุดข้างหลังก่อน
- ชุดข้างหน้า คือตัวเลข 2 ตัวที่คูณกันแล้วได้เท่ากับ a กำหนดให้เป็นตัวแปร k และ h เป็นค่าคงที่
- ชุดข้างหลัง คือตัวเลข 2 ตัวที่คูณกันแล้วได้เท่ากับ c กำหนดให้เป็นตัวแปร m และ n เป็นค่าคงที่
- ความยากอยู่ที่ตัวเลขชุดตรงกลาง ในการแยกตัวประกอบในรูปแบบนี้จะต้องสามารถแยกได้ในรูปแบบ
( kx + m )( hx + n)
โดยที่เราต้องกำหนดความสัมพันธ์ของตัวเลขชุดตรงกลางได้ตามหลัก “ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล” นั่นก็คือ ตัวไกล k คูณกับ n บวกกับตัวใกล้ m คูณกับ h ต้องได้เท่ากับ b ซึ่งก็คือตัวกลาง
สรุปความสัมพันธ์ทั้ง 3 หัวข้อได้ดังนี้
การแยกตัวประกอบของ ax² + bx + c จะเท่ากับ ( kx + m )( hx + n) ก็ต่อเมื่อ
a = k × h
b = ( k × n ) + ( h × m )
c = m × n
ตัวอย่าง
จงแยกตัวประกอบของ 5x² + 11x + 2
จากตัวอย่างนี้ ถ้าต้องการแยกตัวประกอบ ในพิจารณาตามหลัก
” ตัวหน้าคูณกันได้ข้างหน้า ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกลต้องได้ตรงกลาง ตัวหลังคูณกันต้องได้ข้างหลัง “
นั่นก็คือ เราต้องพิจารณาทั้งหมด 3 ประเด็น ได้แก่
- ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 2
- ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 5
- นำมาจัดเรียง แบบใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล ได้เท่ากับ 11
พิจารณาว่า ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 2
- 2 × 1
พิจารณาว่า ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 5
- 5 × 1
นำมาจัดเรียง แบบใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล ได้เท่ากับ 11
- ( 5x +2 )( x + 1 )
- ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล
(5)(1)+(2)(1) = 7
- ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล
- ( 5x + 1 )( x + 2 )
- ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล
(5)(2)+(1)(1) = 11
- ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล
เพราะฉะนั้น การแยกตัวประกอบของ 5x² + 11x + 2 จะเท่ากับ ( 5x + 1 )( x +2 )
การดึงตัวร่วม
การดึงตัวร่วมเป็นพื้นฐานสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ เพราะช่วยในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ได้อย่างมากทั้งในบทนี้และบทอื่น ๆ
รูปแบบที่ 3
พหุนามอยู่ในรูป ab + ac
การแยกตัวประกอบรูปแบบนี้จะใช้สมบัติการแจกแจงเพื่อแยกตัวประกอบ โดยการใช้ตัวประกอบร่วม ( Common factor ) หรือ a ตามรูปของพหุนามข้างต้น
จะได้ ab + ac = a(b + c)
วิธีการก็คือ ลองพิจารณาตัวเลข หรือ ตัวแปร ที่อยู่ระหว่างเครื่องหมาย บวกและลบ ว่ามีตัวเลขหรือตัวแปรใดที่เหมือนกันหรือไม่ ในบางครั้งอาจจะไม่สามารถมองเห็นได้ทันที ต้องใช้ไหวพริบในการพิจารณาด้วย
เมื่อเจอตัวเลขหรือตัวแปรที่ซ้ำกันแล้ว ให้ดึงออกมาอยู่ในรูปผลคูณถือเป็นการเสร็จสิ้น
ตัวอย่าง
จงดึงตัวร่วมของ 5x + 10
พิจารณาได้ดังนี้
จากโจทย์ถ้าเรามองด้วยตาเปล่า จะไม่เห็นพจน์ที่มีลักษณะเดียวกัน แต่ถ้าเรามองว่า 10 คือผลคูณระหว่าง 5 และ 2 ทำให้เราเห็นได้ว่า มีเลข 5 อยู่ระหว่างผลบวกนั้น ทำให้เราสามารถดึง 5 ออกมาในฐานะตัวประกอบร่วมได้
= 5x + (5)(2) = 5(x+2)
จงดึงตัวร่วมของ 12x²+6x
พิจารณาได้ดังนี้
จากโจทย์ถ้าเรามองด้วยตาเปล่า จะเห็นว่าทั้งสองพจน์มีตัวแปร x ที่มีลักษณะเดียวกันเพียงอย่างเดียว แต่ถ้าเรามองว่า 12 คือ ผลคูณระหว่าง 6 และ 2 ทำให้เราเห็นได้ว่า มีเลข 6 อยู่ระหว่างผลบวกนั้น ทำให้เราสามารถดึง 6 และ x ออกมาในฐานะตัวประกอบร่วมได้
= (6)(2)(x)(x) + (6)(x)(1) = 6x(2x+1)