เซต

เซต

สรุปเนื้อหา เซต ระดับ ม. 4 และสำหรับน้อง ๆ ม.ปลาย ที่ต้องการทบทวน โดยจะมีเนื้อหาตั้งแต่ วิธีการเขียนเซต การนับจำนวนสมาชิกในเซต ชนิดของเซต ความสัมพันธ์ระหว่างเซต สมบัติของเซต พาเวอร์เซต สมบัติของพาเวอร์เซต แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ยูเนียน อินเตอร์เซคชัน คอมพลีเมนต์ และผลต่าง ซึ่งเป็นพื้นฐานในการเรียนที่สำคัญมากเมื่อน้อง ๆ ทบทวนเสร็จ อย่าลืมทำโจทย์เพื่อเสริมความเข้าใจด้วยละ

สัญลักษณ์

{ } แทน เซต

∈ แทน คำว่า” เป็นสมาชิก”

∉ แทนคำว่า “ไม่เป็นสมาชิก”

⊂ แทนคำว่า “สับเซต”

⊄ แทนคำว่า ” ไม่เป็นสับเซต”

วิธีการเขียน เซต

  • เขียนแบบแจกแจงสมาชิก

A = { a , b , c }

B = { ก , {ข} , {ค,ง}}

  • เขียนแบบบอกเงื่อนไข

จะใช้เครื่องหมาย | แทนค่าว่า “โดยที่”

A = { x | x²-4x+3=0 }

การนับจำนวนสมาชิกในเซต

  • จำนวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย n(A)
  • ถ้าสมาชิกในเซตซ้ำกันให้เขียนเพียงครั้งเดียว

ชนิดของเซต

  • เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว
  • เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว
  • เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกในเซตเลย หรือเขียนแทนด้วย Φ

เอกภพสัมพัทธ์ (U) คือ เซตที่กำหนดขอบเขตสิ่งที่เรากำลังพิจารณา

ความสัมพันธ์ระหว่างเซต

  • เซตที่เท่ากัน คือ เซตที่สมาชิกทุกตัวเหมือนกัน ถ้าเซต A เท่ากับเซต B จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A = B
  • เซตที่เทียบเท่ากัน คือ เซตที่จำนวนสมาชิกเท่ากัน

สมบัติของสับเซต

  1. ถ้า A⊂B และ A ≠ B  จะเรียก A ว่าเป็นสับเซตแท้ของ B
  2. ถ้า A เป็นเซตจำกัด จะมีสมาชิก n ตัว แล้ว A มีสับเซตทั้งหมด 2n สับเซต
  3. ถ้า A เป็นเซตจำกัด จะมีสมาชิก n ตัว แล้ว A มีสับเซตแท้ทั้งหมด 2n -1 สับเซต
  4. Φ ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตทุกเซต)
  5. A ⊂ A (ตัวเองก็เป็นสับเซตของตัวเอง)
  6. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
  7. A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมื่อ A = B

หมายเหตุ : Φ ( เซตว่าง ) ไม่มีสับเซต

เพาเวอร์เซต

คือ การนำสับเซตมาเขียนเป็นเซตใหม่อีกที

สมบัติของเพาเวอร์เซต

  1. P(A) ≠ Φ
  2. Φ ∈ P(A)
  3. Φ ⊂ P(A)
  4. A ∈ P(A)
  5. ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 2n ตัว
  6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
  7.  P(A) ∩ P(B) = P(A∩B)
  8. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A∪B)

แผนภาพ เวนน์-ออยเลอร์

ยูเนียน ( Union ) (เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∪)

สมบัติของยูเนี่ยน (กำหนด A , B เป็นเซตใด ๆ )

  1. A∪B = B∪A
  2. A∪A = A
  3. A∪U = U
  4. A∪Φ = A
  5. (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
  6. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
  7. A∪A’ = U
  8. (A∪B)’=A’∩B’
  9. A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C)

อินเตอร์เซคชัน ( Intersection ) (เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∩)

คุณสมบัติของอินเตอร์เซค ( กำหนด A,B เป็นเซตใด ๆ )

  1. A∩B = B∩A
  2. A∩A = A
  3. A∩U = A
  4. A∩Φ = Φ
  5. (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
  6. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
  7. A∩A’ = Φ
  8. (A∩B)’ = A’∪B’
  9. A- (B∩C) = (A-B)∪(A-C)

คอมพลีเมนต์ ( Complement )

คุณสมบัติของคอมพลีเมนต์

  1. (A’)’ = A    ; Aคู่ = A
  2. ((A’)’)’ = A’    ; Aคี่ = A’
  3. Φ’ = U
  4. U’ = Φ
  5. A∪A’ = U
  6. A∩A’ = Φ
  7. A⊂B ก็ต่อเมื่อ B’⊂A’
  8. A∩B = Φ ก็ต่อเมื่อ A’⊂B’

ผลต่าง ( Differrence )

คุณสมบัติของผลต่างระหว่างเซต

  1. A-A = Φ
  2. A-Φ = A
  3. Φ-A = Φ
  4. A-A’ = A
  5. A-U =Φ
  6. A-B ⊂ A
  7. A-B = A ก็ต่อเมื่อ A∩B = Φ
  8. A-B = Φ ก็ต่อเมื่อ A⊂B

จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด

2 เซต

n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)

3 เซต

n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A-n(A∩B∩C)

เนื้อหาอื่นๆ