สรุปเนื้อหา พาราโบลา (parabola) ม.3

สรุปเนื้อหา พาราโบลา (parabola) ม.3

สมการพาราโบลา

สมการของ พาราโบลา คือ สมการที่สามาเขียนให้อยู๋ในรูป 

y = Ax + Bx + C โดยที่ a ≠ 0

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อความสะดวกในการทำโจทย์เราจะพยายามแปลงสมการพาราโบลาให้อยู่ในรูปของ

y=(x-h)2+k

สมการพาราโบลาเป็นสมการที่อยู่ในชีวิตประจำวันของเรา ซึ่งเราสามารถนำไปประยุกต์ใช้ต่อไปในอนาคตได้อย่างมากมาย เพราะฉะนั้นการเรียนรู้กราฟพาราโบลาให้เข้าใจเป็นเหมือนพื้นที่ฐานที่ดีในการประยุกต์ใช้ต่อไปในอนาคต

เนื้อหาต่อไปนี้จะค่อย ๆ เริ่มจากการสังเกตสมการพาราโบลา ที่ง่ายที่สุด ไปถึงรูปแบบที่ยากที่สุดก็คือรูปแบบที่กล่าวไว้ข้างต้น

คอร์สเรียนออนไลน์ ฟรี !

ดูเนื้อหานี้บน Youtube

รูปแบบที่ 1 สมการที่อยู่ในรูป

y=ax 2

สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ

1. กรณี a>0 (เป็นบวก)

  • ในกรณี a>0 จะพบว่า พาราโบลา มีลักษณะหงายขึ้น
  • จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,0)
  • a มาก จะได้กราฟที่มีความกว้างน้อย แต่ถ้า a น้อยจะได้กราฟที่มีลักษณะกว้างมาก

2. กรณี a<0 (ติดลบ)

  • ในกรณี a<0 จะพบว่า พาราโบลา มีลักษณะคว่ำลง
  • จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,0)
  • a มาก จะได้กราฟที่มีความกว้างน้อย แต่ถ้า a น้อยจะได้กราฟที่มีลักษณะกว้างมาก

ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 1 สรุปได้ดังนี้

  • ถ้าเจอกราฟพาราโบลา a (ตัวแปรหน้า พจน์ x^2  ) จะเป็นตัวบอกลักษณะการคว่ำหรือหงาย
  • ตัวแปร a จะบอกถึงความกว้างของกราฟอีกด้วย

รูปแบบที่ 2 สมการที่อยู่ในรูป

y=ax 2+k

สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ

1. กรณี a>0 (เป็นบวก)

  • จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,k)

2. กรณี a<0 (ติดลบ)

  • จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,k)

ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 2 สรุปได้ดังนี้

  • กราฟพาราโบลาในรูปแบบที่ 2 นี้ สิ่งที่แตกต่างจากรูปแบบที่ 1 คือ จุดยอดในแกน y ทำให้สรุปได้ว่า ตัวแปร k ที่เพิ่มเข้ามา ทำหน้าที่เปลี่ยนจุดยอดบนแกน y ให้มีค่าเท่ากับ k

รูปแบบที่ 3 สมการที่อยู่ในรูป

y=a(x-h) 2

สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ

1. กรณี a>0 (เป็นบวก)

  • จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (h,0)

2. กรณี a<0 (ติดลบ)

  • จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (h,0)

ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 3 สรุปได้ดังนี้

  • กราฟพาราโบลาในรูปแบบที่ 3 นี้ สิ่งที่แตกต่างจากรูปแบบที่ 1 คือ จุดยอดในบนกน x ทำให้สรุปได้ว่า ตัวแปร h ที่เพิ่มเข้ามา ทำหน้าที่เปลี่ยนจุดยอดบนแกน x ให้มีค่าเท่ากับ h
  • สมการพาราโบลาในรูปแบบที่ 3  ตัวแปร h อยู่ภายในวงเล็บกำลัง 2 ต่างจากรูปแบบที่ 2 ที่ตัวแปร k อยู่ภายนอก เพราะฉะนั้นจึงจำเป็นต้องระวังให้ดีนะครับ

รูปแบบที่ 4 สมการที่อยู่ในรูป

y=a(x-h) 2+k

สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี

1. กรณี a>0 (เป็นบวก)

  • จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ที่จุด (h,k)

2. กรณี a<0 (ติดลบ)

  • จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ที่จุด (h,k)

ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 4 สรุปได้ดังนี้

สมการนี้ คือ สมการรูปแบบเต็ม เป็นการรวมกันของทั้ง 3 รูปแบบข้างต้นไว้ ดังนั้นจึงต้องนำข้อสังเกตจากทั้ง 3 รูปแบบมาวิเคราะห์พร้อมกัน ซึ่งจำแนกได้ 3 ส่วน

  • a จะเป็นตัวบอกว่า กราฟจะคว่ำหรือหงาย กว้างหรือแคบ
  • h จะบอกจุดยอดบนแกน x
  • k จะบอกจุดยอดบนแกน y

ข้อควรระวังสุดท้าย คือ เครื่องหมายหน้าตัวแปร h และ k ที่บ่งบอกถึงจุดยอดที่แตกต่างกัน

ทั้งหมดนี้จะทำให้เราสามารถทราบหน้าตาของกราฟพาราโบลาได้อย่างสมบูรณ์

ตัวแปรอื่นๆที่สามารถหาได้จากสมการพาราโบลา

 

1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย

2) จุดต่ำสุดหรือสูงสุดของกราฟเป็นจุดใด

3) ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของ y เป็นเท่าใด

4) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

5) กราฟตัดแกน x และแกน y ที่จุดใด