สรุปเนื้อหา พาราโบลา (parabola) ม.3
สมการพาราโบลา
สมการของ พาราโบลา คือ สมการที่สามาเขียนให้อยู๋ในรูป
y = Ax + Bx + C โดยที่ a ≠ 0
โดยทั่วไปแล้ว เพื่อความสะดวกในการทำโจทย์เราจะพยายามแปลงสมการพาราโบลาให้อยู่ในรูปของ
y=(x-h)2+k
สมการพาราโบลาเป็นสมการที่อยู่ในชีวิตประจำวันของเรา ซึ่งเราสามารถนำไปประยุกต์ใช้ต่อไปในอนาคตได้อย่างมากมาย เพราะฉะนั้นการเรียนรู้กราฟพาราโบลาให้เข้าใจเป็นเหมือนพื้นที่ฐานที่ดีในการประยุกต์ใช้ต่อไปในอนาคต
เนื้อหาต่อไปนี้จะค่อย ๆ เริ่มจากการสังเกตสมการพาราโบลา ที่ง่ายที่สุด ไปถึงรูปแบบที่ยากที่สุดก็คือรูปแบบที่กล่าวไว้ข้างต้น
คอร์สเรียนออนไลน์ ฟรี !
ดูเนื้อหานี้บน Youtube
รูปแบบที่ 1 สมการที่อยู่ในรูป
y=ax 2
สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ
1. กรณี a>0 (เป็นบวก)
- ในกรณี a>0 จะพบว่า พาราโบลา มีลักษณะหงายขึ้น
- จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,0)
- a มาก จะได้กราฟที่มีความกว้างน้อย แต่ถ้า a น้อยจะได้กราฟที่มีลักษณะกว้างมาก
2. กรณี a<0 (ติดลบ)
- ในกรณี a<0 จะพบว่า พาราโบลา มีลักษณะคว่ำลง
- จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,0)
- a มาก จะได้กราฟที่มีความกว้างน้อย แต่ถ้า a น้อยจะได้กราฟที่มีลักษณะกว้างมาก
ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 1 สรุปได้ดังนี้
- ถ้าเจอกราฟพาราโบลา a (ตัวแปรหน้า พจน์ x^2 ) จะเป็นตัวบอกลักษณะการคว่ำหรือหงาย
- ตัวแปร a จะบอกถึงความกว้างของกราฟอีกด้วย
รูปแบบที่ 2 สมการที่อยู่ในรูป
y=ax 2+k
สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ
1. กรณี a>0 (เป็นบวก)
- จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,k)
2. กรณี a<0 (ติดลบ)
- จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (0,k)
ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 2 สรุปได้ดังนี้
- กราฟพาราโบลาในรูปแบบที่ 2 นี้ สิ่งที่แตกต่างจากรูปแบบที่ 1 คือ จุดยอดในแกน y ทำให้สรุปได้ว่า ตัวแปร k ที่เพิ่มเข้ามา ทำหน้าที่เปลี่ยนจุดยอดบนแกน y ให้มีค่าเท่ากับ k
รูปแบบที่ 3 สมการที่อยู่ในรูป
y=a(x-h) 2
สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ
1. กรณี a>0 (เป็นบวก)
- จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (h,0)
2. กรณี a<0 (ติดลบ)
- จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ทีจุด (h,0)
ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 3 สรุปได้ดังนี้
- กราฟพาราโบลาในรูปแบบที่ 3 นี้ สิ่งที่แตกต่างจากรูปแบบที่ 1 คือ จุดยอดในบนกน x ทำให้สรุปได้ว่า ตัวแปร h ที่เพิ่มเข้ามา ทำหน้าที่เปลี่ยนจุดยอดบนแกน x ให้มีค่าเท่ากับ h
- สมการพาราโบลาในรูปแบบที่ 3 ตัวแปร h อยู่ภายในวงเล็บกำลัง 2 ต่างจากรูปแบบที่ 2 ที่ตัวแปร k อยู่ภายนอก เพราะฉะนั้นจึงจำเป็นต้องระวังให้ดีนะครับ
รูปแบบที่ 4 สมการที่อยู่ในรูป
y=a(x-h) 2+k
สมการรูปแบบนี้จะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี
1. กรณี a>0 (เป็นบวก)
- จุดต่ำสุด (จุดยอด) อยู่ที่จุด (h,k)
2. กรณี a<0 (ติดลบ)
- จุดสูงสุด (จุดยอด) อยู่ที่จุด (h,k)
ข้อสังเกต จากรูปแบบที่ 4 สรุปได้ดังนี้
สมการนี้ คือ สมการรูปแบบเต็ม เป็นการรวมกันของทั้ง 3 รูปแบบข้างต้นไว้ ดังนั้นจึงต้องนำข้อสังเกตจากทั้ง 3 รูปแบบมาวิเคราะห์พร้อมกัน ซึ่งจำแนกได้ 3 ส่วน
- a จะเป็นตัวบอกว่า กราฟจะคว่ำหรือหงาย กว้างหรือแคบ
- h จะบอกจุดยอดบนแกน x
- k จะบอกจุดยอดบนแกน y
ข้อควรระวังสุดท้าย คือ เครื่องหมายหน้าตัวแปร h และ k ที่บ่งบอกถึงจุดยอดที่แตกต่างกัน
ทั้งหมดนี้จะทำให้เราสามารถทราบหน้าตาของกราฟพาราโบลาได้อย่างสมบูรณ์
ตัวแปรอื่นๆที่สามารถหาได้จากสมการพาราโบลา
1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย
2) จุดต่ำสุดหรือสูงสุดของกราฟเป็นจุดใด
3) ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของ y เป็นเท่าใด
4) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
5) กราฟตัดแกน x และแกน y ที่จุดใด