สรุปสูตร ตรีโกณ ม.5
ตรีโกณมิติ
เนื้อหาสรุปสูตร ตรีโกณ ม.5 นี้เพื่อความสะดวกในการใช้งานและท่องจำ ประกอบไปด้วยเนื้อหา อัตราส่วนตรีโกณมิติ สูตรต่าง ๆ ของตรีโกณมิติ และ การประยุกต์ตรีโกณมิติ น้อง ๆ สามารถบันทึกไว้ในโทรศัพท์ หรือจะเปิดอ่านบนเว็บไซต์ได้ทุกเมื่อ แต่นี่คือสรุปสูตรเท่านั้น ถ้าไม่ได้มีการฝึกฝนในการทำโจทย์ตรีโกณมิติ หรืออ่านทบทวนเป็นประจำ ก็ยากที่จะเข้าใจในบทเรียนนี้
เนื้อหาทั้งหมดของ ตรีโกณมิติ
Part 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
ดูเนื้อหานี้บน Youtube
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในการประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน ตรีโกณ ม.5 ซึ่งเป็นเนื้อหาที่สำคัญและมีประโยชน์มากในทางคณิตศาสตร์ และฟิสิกส์ เป็นอัตราส่วนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีอัตราส่วนต่าง ๆ ดังนี้
sin(A) = ข้าม / ฉาก
cos(A) = ชิด / ฉาก
tan(A) = ข้าม / ชิด
cosec(A) = ฉาก / ข้าม
sec(A) = ฉาก / ชิด
cot(A) = ชิด / ข้าม
การหาค่าตรีโกณมิติโดยใช้เทคนิค “มือ”
การหาค่า ตรีโกณมิติ โดยใช้เทคนิคมือนั้น เป็นเทคนิคที่สามารถใช้ได้ง่ายทุกสถานการณ์ โดยต้องอาศัยความเข้าใจ ไม่ต้องเสียเวลานั้งท่องจำมาก มาดูกันเลยว่าทำอย่างไรบ้าง
- ขั้นตอนแรก ให้เราจินตนาการตามรูป ว่านิ้วแต่ละนิ้วของเราเปรียบเสมือนค่ามุมต่าง ๆ ในตรีโกณมิติ ได้แก่ 0 , 30 ,45 ,60 และ 90
- ถ้าต้องการหาค่าตรีโกณมิติที่มุมเท่าไหร่ ให้หักนิ้วนั้นลง
- อัตราส่วนที่ได้จะเป็นดังนั้น
- sin จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
- cos จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
- tan จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ ส่วนด้วยสแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ
ตัวอย่าง ถ้าเราต้องการ หาค่าตรีโกณมิติ ที่มุม 60 องศา
วิธีทำ ถ้าเราใช้มือขวา ให้เราหักนิ้วชี้ลง จะพบว่า เหลือนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว ( ก้อย , นาง , กลาง ) และจะเหลือนิ้วด้านซ้าย 1 นิ้ว ( โป้ง )
เราสามารถหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติได้ ดังนี้
- sin มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว จึงได้ค่า sin 60 = √3/2
- cos มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า cos 60 = 1/2
- tan มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว และ มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า tan 60 = √3
ค่าตรีโกณมิติที่ควรทราบ
หัวข้อที่แล้ว เราได้เรียนรู้หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติด้วยวิธีมือแล้ว คราวนี้เรามาดูตารางสรุปกันได้กว่าว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐานที่เราควรทราบมีอะไรบ้าง
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
Sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
Cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
Tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | หาค่าไม่ได้ |
สมบัติต่าง ๆ ที่ควรทราบเกี่ยวกับตรีโกณมิติ
- sin2θ + cos2θ = 1
- tan2θ + 1 = sec2θ
- cot2θ + 1 = cosec2θ
- sin(A) = 1/cosec(A) และ cosec(A) = 1/sin(A)
- cos(A) = 1/sec(A) และ sec(A) = 1/cos(A)
- tan(A) = 1/cot(A) = sin(A)/cos(A) และ cot(A) = 1/tan(A) = cos(A)/sin(A)
วงกลมหนึ่งหน่วย
พื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ ความรู้เรื่องวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย หรือเรียกสั้นๆว่า “วงกลมหนึ่งหน่วย”
โดยวงกลมหนึ่งหน่วย จะแบ่งเป็นด้วยกัน 4 ควอดรันต์ ตามเครื่องหมายของตัวแปรในแกน x และตัวแปรในแกน y
ควอดรันต์ที่ 1 (Q1) แกน x เป็น + และแกน y เป็น + เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (+,+)
ควอดรันต์ที่ 2 (Q2) แกน x เป็น – และแกน y เป็น + เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (-,+)
ควอดรันต์ที่ 3 (Q3) แกน x เป็น – และแกน y เป็น – เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (-,-)
ควอดรันต์ที่ 4 (Q4) แกน x เป็น + และแกน y เป็น – เขียนง่าย ๆ ได้ว่า (+,+)
การนับมุมภายในของวงกลมหนึ่งหน่วยจะเริ่มต้นที่ จุด (1,0) หมุนทวนเข็มนาฬิกา
โดยที่อัตราส่วนตรีโกณมิติของวงกลมหนึ่งหน่วยสามารถจำได้ง่าย ๆ เลยคือ
cos (θ) = x และ sin (θ) = y
อ่านว่า “cosเอกซ์sinวาย”
กล่าวคือ ถ้าต้องการหาค่าที่จุดใด ๆ บนวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วเรารู้มุมนั้นก็สามารถหาค่า x และ y โดยใช้มุมของวงกลมแทนใน cos และ sin เพื่อหาค่า x และ y ตามลำดับ
ยกตัวอย่างเช่น
ถ้าเราต้องการหาค่า x และ y ที่มุมภายใน 30 องศา จะได้
(x , y) = (cos(30) , sin(30))
Part 2 สูตรการหาค่ามุมต่าง ๆ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่าง
ใช้ในกรณีที่ต้องการแปลงค่ามุมให้เป็นมุมที่เราต้องการได้เพื่อประยุกต์ใช้ในกรณีต่าง ๆ
- cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
- cos(A+B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B)
- sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- sin(A-B) = sin(A)cos(B) – cos(A)sin(B)
- tan(A+B) = (tan(A)+tan(B)) / (1-tan(A)tan(B))
- tan(A-B) = (tan(A)-tan(B)) / (1+tan(A)tan(B))
มุมทวีคูณ
ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 2 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้
- sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
- cos(2A) = cos2(A) – sin2(A) = 1 – 2sin2(A) = 2cos2(A) – 1
- tan(2A) = (2 tanA) / (1 – tan2(A))
มุมพหุคูณ
ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 3 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้
- sin(3A) = (3)sin(A) – (4)Sin3(A)
- cos(3A) = (4)cos3(A) – 3cos(A)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติครึ่งของจำนวนจริงหรือมุม
ผลคูณ ผลบวก ผลต่าง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลคูณของตรีโกณมิติให้เป็นผลบวก หรือ ผลต่าง ในทางกลับกันก็สามารถแปลงผลบวก หรือ ผลต่าง มาเป็นรูปแบบผลคูณได้เช่นกัน
- 2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A-B)
- 2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B)
- 2cosAcosB = cos(A+B) + sin(A-B)
- 2sinAsinB = cos(A–B)-cos(A+B)
หมายเหตุ : ระวัง! 2sinAsinB จะมีลักษณะที่แตกต่างจากอันอื่น
การแปลงผลบวกหรือผลต่างเป็นผลคูณ
เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลบวก และ ผลต่าง เป็นผลคูณ เพื่อการประยุกต์ใช้ต่าง ๆ
- sinA + sinB = 2 sin((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
- sinA – sinB = 2 cos((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
- cosA + cosB = 2 cos((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
- cosB-cosA = 2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
- หรือ cosA – cosB = -2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
หมายเหตุ : ระวัง! cosA-cosB จะมีลักษณะที่แตกต่างจากอันอื่น
Part 3 การประยุกต์
กฎของ sin และ กฎของ cos
ในหัวข้อนี้จะพูดถึงการนำตรีโกณมิติเข้าไปประยุกต์ ซึ่งจะต้องมีความรู้พื้นฐาน part ที่ 1 และ 2 อย่างดี รวมถึงการใช้สูตรใน part ที่ 3 เพื่อมาประยุกต์รวมกัน
กฎของ sin และ กฎของ cos เป็นหัวข้อการประยุกต์ที่ถูกใช้เป็นประจำ ในการหาความยาวด้านและมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ โดยใช้ความรู้ของตรีโกณมิติ แต่อย่าจำสับสน ตรีโกณมิติอยู่บนพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ในหัวข้อนี้นำเข้ามาประยุกต์กับสามเหลี่ยมใด ๆ เท่านั้น
กฎของ sin
a/sinA = b/sinB = c / sinC
โดยกำหนดให้
a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ
A , B , C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
กฎของ cos
a2 = b2 + c2 – 2bc(cosA)
b2 = a2 + c2 – 2ac(cosB)
c2 = a2 + b2 – 2ab(cosC)
โดยกำหนดให้
a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ
A , B ,C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
ในการสอบระดับมหาวิทยาลัย และในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ พื้นฐาน หรือ เพิ่มเติมก็ตาม น้อง ๆ ต้องทำความเข้าใจในสูตรต่าง ๆ นี้ให้เข้าใจ เพื่อที่จะได้ใช้อย่างถูกต้องต่อไปนะครับ