ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์

เนื้อหา ตรรกศาสตร์

ในบทนี้จะเป็นการสรุปเนื้อหา ตรรกศาสตร์ สำหรับน้อง ๆ ระดับชั้น ม.4 และมัธยมปลายที่ต้องการทบทวน โดยเรื่อง ตรรกศาสตร์ เป็นเนื้อหาใหม่ที่เราไม่เคยเจอมาก่อนจากสมัยมัธยมต้น จะมาเจอตอน ม.4 เพราะฉะนั้นในช่วงแรกอาจจะยาก อยากให้น้อง ๆ ตั้งใจอ่านแล้วทบทวนให้ดีนะครับ โดยมีเนื้อหาตั้งแต่ สมบัติการสมมูล ประพจน์ การหาค่าความจริง สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล และตัวบ่งปริมาณ

การเชื่อมประพจน์ และ นิเสธของประพจน์

pq~pp ∧ qp ∨ qp → qp ↔ q
TTFTTTT
TFFFTFF
FTTFTTF
FFTFFTT

สมบัติการสมมูล

  • สมบัติการสลับที่

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ↔ q ≡ q ↔ p

  • สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

p ∧ ( q ∧ r ) ≡  ( p ∧  q ) ∧ r  ≡ p ∧  q ∧ r  

p ∨ ( q ∨ r ) ≡  ( p ∨  q ) ∨ r  ≡ p ∨  q ∨ r  

p ↔ ( q ↔ r ) ≡  ( p ↔  q ) ↔ r  ≡ p ↔ q ↔ r  

  • สมบัติการแจกแจง

p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )

p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )

p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r )

p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r )

( p ∨ q ) → r  ≡ ( p → r ) ( p → r )

( p ∧ q ) → r  ≡ ( p → r ) ( p → r )

  • สมบัติของ ถ้า…แล้ว ()

p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q

  • สมบัติของ ก็ต่อเมื่อ ( ↔ )

p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )

  • สมบัติของ นิเสธ ( ~ )

~(~p) ≡ p

~(p ∧ q) ≡ ~p ~q

~(p ∨ q) ≡ ~p  ~q

~(p → q) ≡ p ∧ ~q

~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q

  • สมบัติอื่น ๆ

p ∧ p ≡ p

p ∧ T ≡ p

p ∧ F ≡ F

p ∧ ~p ≡ F

p ∨ p ≡ p

p ∨ T ≡ T

p ∨ F ≡ p

p ∨ ~p ≡ T

p → F ≡ ~p

F → p ≡ T

p → T ≡ T

T → P ≡ P

P ↔ P ≡ T

P ↔ ∼P ≡ F

สัจนิรันดร์

คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี โดยจะมีวิธีการตรวจสอบดังนี้

1. การใช้ตารางค่าความจริง

คือ การสร้างตารางแสดงค่าความจริงทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ เพื่อให้รู้ว่ามีโอกาสที่ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จหรือไม่

2. ตรวจสอบความขัดแย้ง

นิยมใช้กับ ∨ , → แต่ถ้าใช้กับ ∨ , ↔ อาจจะต้องทำหลายครั้ง

ทำโดยการลองให้คำตอบของประพจ์นั้นเป็นเท็จ แล้วหาย้อนกลับไปว่า สามารถทำได้จริงหรือไม่ ถ้าไม่สามารถทำได้แสดงว่าประพจน์นี้ เป็นสัจนิรันดร์

3. ใช้หลัก สมมูล

นิยมใช้กับ ↔ 

ในกรณีที่ Δ ↔ Ο หาก Δ ≡ Ο 

จะได้ว่า Δ ↔ Ο เป็นสัจนิรันดร์

การอ้างเหตุผล

วิธีการทำมีด้วยกัน 2 รูปแบบ คือ

1. นำเหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และนำ → มาเชื่อมกับผล หลังจากนั้นให้ตรวจว่าเป็นสัจนิรันดร์

  • หากเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่า สมเหตุสมผล
  • หาไม่เป็นสัจนิรันดร์แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล

2. ให้เหตุทุกข้อเป็น T หาค่าความจริงและไปแทนในผล

  • ถ้าผล เป็น T แสดงว่าสมเหตุสมผล
  • ถ้าผล เป็น F แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล

ตัวบ่งปริมาณ 

∀x คือ สำหรับทุกตัวของ x  ถ้า F ตัวเดียว F เลย

∃x คือ สำหรับบางตัวของ x ถ้า T ตัวเดียว T เลย

∃x[ P(x) ]  มี T อย่างน้อย 1 ตัว จะมีค่าความจริงเป็น T

∀x[ P(x) ]  มี F อย่างน้อย 1 ตัว จะมีค่าความจริงเป็น F

∃x∃y[ P(x,y) ] มี (x,y) อย่างน้อย 1 คู่ที่เป็น T จะมีค่าความจริงเป็น T

∃x∀y[ P(x,y) ] มี x อย่างน้อย 1 ตัวคู่กับ y ทุกตัวเป็น T จะมีค่าความจริงเป็น T

∀x∃y[ P(x,y) ] มี x ทุกตัวจับคู่กับ y บางตัวเป็น T จะมีค่าความจริงเป็น T

∀x∀y[ P(x,y) ]  มี (x,y) อย่างน้อยหนึ่งคู่เป็น F จะมีค่าความจริงเป็น F

 

นิเสธของตัวบ่งปริมาณ

∼∃x[ P(x) ] ≡ ∀x[ ∼P(x) ] 

∼∀x[ P(x) ] ≡ ∃x[ ∼P(x) ] 

∼∀x∀y[ P(x,y) ] ≡ ∃x∃y[ ∼P(x,y) ] 

∼∃x∃y[ P(x,y) ] ≡ ∀x∀y[ ∼P(x,y) ] 

∼∃x∀y[ P(x,y) ] ≡ ∀x∃y[ ∼P(x,y) ] 

∼∀x∃y[ P(x,y) ] ≡ ∃x∀y[ ∼P(x,y) ]

เนื้อหาอื่นๆ