ตรรกศาสตร์
เนื้อหา ตรรกศาสตร์
ในบทนี้จะเป็นการสรุปเนื้อหา ตรรกศาสตร์ สำหรับน้อง ๆ ระดับชั้น ม.4 และมัธยมปลายที่ต้องการทบทวน โดยเรื่อง ตรรกศาสตร์ เป็นเนื้อหาใหม่ที่เราไม่เคยเจอมาก่อนจากสมัยมัธยมต้น จะมาเจอตอน ม.4 เพราะฉะนั้นในช่วงแรกอาจจะยาก อยากให้น้อง ๆ ตั้งใจอ่านแล้วทบทวนให้ดีนะครับ โดยมีเนื้อหาตั้งแต่ สมบัติการสมมูล ประพจน์ การหาค่าความจริง สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล และตัวบ่งปริมาณ
การเชื่อมประพจน์ และ นิเสธของประพจน์
| p | q | ~p | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | T | T | F |
| F | F | T | F | F | T | T |
สมบัติการสมมูล
- สมบัติการสลับที่
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
p ↔ q ≡ q ↔ p
- สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r
p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r
p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r
- สมบัติการแจกแจง
p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r )
p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r )
( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r )
( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r )
- สมบัติของ ถ้า…แล้ว ( → )
p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q
- สมบัติของ ก็ต่อเมื่อ ( ↔ )
p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )
- สมบัติของ นิเสธ ( ~ )
~(~p) ≡ p
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
~(p → q) ≡ p ∧ ~q
~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q
- สมบัติอื่น ๆ
p ∧ p ≡ p
p ∧ T ≡ p
p ∧ F ≡ F
p ∧ ~p ≡ F
p ∨ p ≡ p
p ∨ T ≡ T
p ∨ F ≡ p
p ∨ ~p ≡ T
p → F ≡ ~p
F → p ≡ T
p → T ≡ T
T → P ≡ P
P ↔ P ≡ T
P ↔ ∼P ≡ F
สัจนิรันดร์
คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี โดยจะมีวิธีการตรวจสอบดังนี้
1. การใช้ตารางค่าความจริง
คือ การสร้างตารางแสดงค่าความจริงทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ เพื่อให้รู้ว่ามีโอกาสที่ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จหรือไม่
2. ตรวจสอบความขัดแย้ง
นิยมใช้กับ ∨ , → แต่ถ้าใช้กับ ∨ , ↔ อาจจะต้องทำหลายครั้ง
ทำโดยการลองให้คำตอบของประพจ์นั้นเป็นเท็จ แล้วหาย้อนกลับไปว่า สามารถทำได้จริงหรือไม่ ถ้าไม่สามารถทำได้แสดงว่าประพจน์นี้ เป็นสัจนิรันดร์
3. ใช้หลัก สมมูล
นิยมใช้กับ ↔
ในกรณีที่ Δ ↔ Ο หาก Δ ≡ Ο
จะได้ว่า Δ ↔ Ο เป็นสัจนิรันดร์
การอ้างเหตุผล
วิธีการทำมีด้วยกัน 2 รูปแบบ คือ
1. นำเหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และนำ → มาเชื่อมกับผล หลังจากนั้นให้ตรวจว่าเป็นสัจนิรันดร์
- หากเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่า สมเหตุสมผล
- หาไม่เป็นสัจนิรันดร์แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล
2. ให้เหตุทุกข้อเป็น T หาค่าความจริงและไปแทนในผล
- ถ้าผล เป็น T แสดงว่าสมเหตุสมผล
- ถ้าผล เป็น F แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล
ตัวบ่งปริมาณ
∀x คือ สำหรับทุกตัวของ x ถ้า F ตัวเดียว F เลย
∃x คือ สำหรับบางตัวของ x ถ้า T ตัวเดียว T เลย
∃x[ P(x) ] มี T อย่างน้อย 1 ตัว จะมีค่าความจริงเป็น T
∀x[ P(x) ] มี F อย่างน้อย 1 ตัว จะมีค่าความจริงเป็น F
∃x∃y[ P(x,y) ] มี (x,y) อย่างน้อย 1 คู่ที่เป็น T จะมีค่าความจริงเป็น T
∃x∀y[ P(x,y) ] มี x อย่างน้อย 1 ตัวคู่กับ y ทุกตัวเป็น T จะมีค่าความจริงเป็น T
∀x∃y[ P(x,y) ] มี x ทุกตัวจับคู่กับ y บางตัวเป็น T จะมีค่าความจริงเป็น T
∀x∀y[ P(x,y) ] มี (x,y) อย่างน้อยหนึ่งคู่เป็น F จะมีค่าความจริงเป็น F
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
∼∃x[ P(x) ] ≡ ∀x[ ∼P(x) ]
∼∀x[ P(x) ] ≡ ∃x[ ∼P(x) ]
∼∀x∀y[ P(x,y) ] ≡ ∃x∃y[ ∼P(x,y) ]
∼∃x∃y[ P(x,y) ] ≡ ∀x∀y[ ∼P(x,y) ]
∼∃x∀y[ P(x,y) ] ≡ ∀x∃y[ ∼P(x,y) ]
∼∀x∃y[ P(x,y) ] ≡ ∃x∀y[ ∼P(x,y) ]
